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Quadratische Gleichungslöser Lösen Sie quadratische Gleichungen (ax² + bx + c = 0) und finden Sie Wurzeln, Diskriminante und Scheitelpunkt.

Quadratische Gleichungslöser illustration
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Quadratische Gleichungslöser

Lösen Sie quadratische Gleichungen (ax² + bx + c = 0) und finden Sie Wurzeln, Diskriminante und Scheitelpunkt.

1

Koeffizienten eingeben

Geben Sie die Werte für a (x²-Koeffizient), b (x-Koeffizient) und c (konstanter Term) ein.

2

Lösung anzeigen

Sehen Sie sich die Wurzeln (reell oder komplex), den Diskriminantenwert und die Art der Wurzeln an.

3

Scheitelpunkt überprüfen

Zeigen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der durch Ihre Gleichung definierten Parabel an.

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What Is Quadratische Gleichungslöser?

Der quadratische Gleichungslöser findet die Wurzeln (Lösungen) jeder Gleichung in der Form ax² + bx + c = 0 mithilfe der quadratischen Formel: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Der Diskriminante (b²−4ac) bestimmt die Art der Lösungen: Wenn er positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln; wenn er Null ist, gibt es eine wiederholte reelle Wurzel; wenn er negativ ist, gibt es zwei komplexe konjugierte Wurzeln mit imaginären Zahlen. Darüber hinaus berechnet der Löser auch den Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c, der bei (−b/2a, c − b²/4a) liegt und entweder den Minimal- oder Maximalpunkt der Kurve darstellt. Quadratische Gleichungen treten in der Physik (projektile Bewegung), im Ingenieurwesen (Strukturanalyse), in der Wirtschaft (Gewinnoptimierung) und in der Geometrie (Flächenprobleme) auf. Dieses Tool behandelt alle Fälle, einschließlich komplexer Wurzeln, negativer Koeffizienten und Bruchwerte, und zeigt die Ergebnisse mit klarer Formatierung und der angewendeten Formel.

Why Use Quadratische Gleichungslöser?

  • Löst jede quadratische Gleichung mit reellen oder komplexen Wurzeln
  • Zeigt den Diskriminanten, um die Natur der Lösungen zu verstehen
  • Berechnet den Scheitelpunkt für die Grafik einer Parabel
  • Zeigt die Anwendung der quadratischen Formel Schritt für Schritt an
  • Behandelt Randfälle wie komplexe konjugierte Wurzeln sauber

Common Use Cases

Algebra-Hausaufgaben

Lösen und überprüfen Sie schnell quadratische Gleichungsprobleme aus dem Mathematikunterricht.

Physik-Probleme

Lösen Sie Projektilbewegungsgleichungen, bei denen die Höhe oder Position quadrisch in der Zeit ist.

Optimierung

Finden Sie das Maximum oder Minimum einer quadratischen Funktion, indem Sie den Scheitelpunkt lokalisieren.

Ingenieuraufgaben

Lösen Sie quadratische Beziehungen in der Schaltkreisanalyse, bei Strukturbelastungen und im Signalverarbeitungsbereich.

Technical Guide

Die quadratische Formel x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a wird durch Vervollständigen des Quadrats auf der allgemeinen quadratischen Gleichung abgeleitet. Der Diskriminante Δ = b²−4ac bestimmt die Art der Wurzeln: Δ > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Wurzeln, Δ = 0 ergibt eine wiederholte Wurzel (die Parabel berührt die x-Achse), und Δ < 0 ergibt komplexe konjugierte Wurzeln der Form (−b/2a) ± (√|Δ|/2a)i. Die Scheitelpunktform einer Parabel ist y = a(x−h)² + k, wobei h = −b/2a und k = c − b²/4a. Wenn a > 0, öffnet sich die Parabel nach oben (Scheitelpunkt ist Minimum); wenn a < 0, öffnet sie sich nach unten (Scheitelpunkt ist Maximum). Für numerische Stabilität verwendet der Löser die Standardformel direkt, da die doppelte Genauigkeit von JavaScripts Arithmetic ausreichend Präzision für typische Bildungs- und Ingenieurwerte bietet. Der Koeffizient a muss ungleich Null sein, damit die Gleichung quadratisch ist; wenn a = 0, wird die Gleichung linear (bx + c = 0) und das Tool meldet diesen Zustand. Die Ergebnisse werden bis zu 6 Dezimalstellen genau angezeigt, um Lesbarkeit zu erhalten.

Tips & Best Practices

  • 1
    Der Diskriminante sagt Ihnen alles über die Wurzeln, bevor Sie sie sogar berechnen
  • 2
    Wenn a = 0 ist, ist die Gleichung linear, nicht quadratisch - verwenden Sie stattdessen einfache Algebra
  • 3
    Der Scheitelpunkt liegt immer bei x = −b/(2a), unabhängig davon, ob die Wurzeln reell oder komplex sind
  • 4
    Bei der Projektilbewegung gibt der Scheitelpunkt die maximale Höhe und die Zeit an, um sie zu erreichen
  • 5
    Komplexe Wurzeln kommen immer in konjugierten Paaren vor: Wenn a+bi eine Wurzel ist, ist auch a−bi eine Wurzel

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Frequently Asked Questions

Q Was ist die quadratische Formel?
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a, wobei a, b und c die Koeffizienten von ax² + bx + c = 0 sind. Das ± bedeutet, dass es normalerweise zwei Lösungen gibt.
Q Was sagt mir der Diskriminante?
Wenn b²−4ac > 0: zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn b²−4ac = 0: eine wiederholte Wurzel. Wenn b²−4ac < 0: zwei komplexe Wurzeln (mit der imaginären Einheit i).
Q Was sind komplexe Wurzeln?
Komplexe Wurzeln beinhalten die imaginäre Einheit i = √(−1). Sie treten auf, wenn der Diskriminante negativ ist, was bedeutet, dass die Parabel die x-Achse nicht schneidet.
Q Kann a gleich Null sein?
Nein. Wenn a = 0 ist, wird die Gleichung zu bx + c = 0, was linear und nicht quadratisch ist. Der Rechner meldet diesen Fehler.
Q Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt - der Mindestpunkt, wenn die Parabel nach oben öffnet (a > 0), oder der Maximalpunkt, wenn sie nach unten öffnet (a < 0).

About This Tool

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