組み合わせ計算機（nCr） 順序を考慮しない選択（繰り返しを含む、または含まない）を行うための組み合わせを計算します。

What Is 組み合わせ計算機（nCr）?

組み合わせは、より大きな集合から選択された項目の順序なしの選択です。C(n,r)は、「n choose r」または二項係数（n r）とも書き、n!/(r!(n−r)!))に等しくなります。順列とは異なり、組み合わせでは順序は考慮されません - ABCを選択することはBACを選択することと同じです。この概念は、「10個の本が並ぶ棚から3冊の本を選ぶ方法は何通りあるか？」などの質問に答えます - C(10,3) = 120。計算機は、項目を複数回選択できるシナリオで繰り返し組み合わせ（マルチチョース）もサポートしており、C(n+r−1, r)という式を使用しています。二項係数はパスカルの三角形、 二項定理、確率分布、および数学全体の組み合わせ的恒等式に現れます。

Why Use 組み合わせ計算機（nCr）?

• 標準的な組み合わせと繰り返し組み合わせの両方を計算できます
• 大きな入力に対して正確な結果を得るためにBigIntを使用しています
• 結果の意味を明確に示します
• 順列との混同を避けるために区別しています
• nは最大1000までサポートされています

Common Use Cases

宝くじの当選確率

宝くじの数字選択でC(n,r)を計算して、当選確率を算出します。

委員会の構成

n人の候補者からr人委員会を結成する方法の数を見つけます。

メニューの組み合わせ

オプションのセットから可能な食事の組み合わせの数を計算します。

サンプリング

置換なしの統計サンプリングで、可能なサンプルの数を決定します。

Technical Guide

組み合わせ式 C(n,r) = n!/(r!(n−r)!) は順序なしの選択を数えます。各組み合わせは r! 個の順列に対応するため、P(n,r)/r! に等しくなります。主要な特性: C(n,0) = C(n,n) = 1、C(n,r) = C(n, n−r) (対称性)、およびパスカルの規則: C(n,r) = C(n−1,r−1) + C(n−1,r) です。繰り返し組み合わせでは、「星と棒」の式: C(n+r−1, r) を使用します。これは、n 個の異なるボックスに r 個の同一のボールを配置する方法の数を数えます。二項定理は (a+b)^n = Σ C(n,k) × a^(n-k) × b^k (k は 0 から n まで) と述べており、二項係数は展開係数となっています。この計算機は、正確な計算のために階乗の BigInt 演算を使用します。

Tips & Best Practices

• 1
  C(n,r) = C(n, n-r) - 含めるものを選択することは除外することを選択することと同等です
• 2
  組み合わせは同じnとrの順列よりも少ないか、または等しくなります
• 3
  C(n,2) = n(n-1)/2 - ペアを選択するための便利なショートカット
• 4
  アイテムが複数回選択できる場合は繰り返し組み合わせを使用します
• 5
  k=0からnまでのすべてのC(n,k)の合計は2^nに等しくなります

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Frequently Asked Questions

Q 組み合わせと順列の違いは何ですか？

組み合わせでは順序を無視します（ABCを選択する = BACを選択する）が、順列では順序を考慮します（ABC ≠ BAC）。順序が重要でない場合は組み合わせを使用してください。

Q "n choose r"とは何ですか？

C(n,r) - 順序を考えずにn個のアイテムからr個のアイテムを選択する方法の数。または二項係数と呼ばれます。

Q 繰り返し組み合わせとは何ですか？

アイテムが1回以上選択できる場合です。たとえば、5つのアイスクリームフレーバーから3スクープを選択することを許可します。式はC(n+r-1, r)です。

Q なぜC(n,0) = 1ですか？

どのセットからも何も選択しない方法がちょうど1つあります - 何も選ばないでください。また、C(n,n) = 1です。すべてを選択する方法は1つしかありません。

Q 組み合わせとパスカルの三角形の関係は何ですか？

パスカルの三角形の各エントリは、行がnで位置がrであるC(n,r)です。各エントリは上にある2つのエントリの合計に等しくなります。

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