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फैक्टोरियल कैलकुलेटर किसी भी संख्या (n!) का फैक्टोरियल गणना करें जिसमें अंकों की गिनती और विस्तार शामिल है।

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फैक्टोरियल कैलकुलेटर

किसी भी संख्या (n!) का फैक्टोरियल गणना करें जिसमें अंकों की गिनती और विस्तार शामिल है।

1

एक संख्या दर्ज करें

फैक्टोरियल की गणना करने के लिए एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक (1000 तक) इनपुट करें।

2

परिणाम देखें

पूर्ण n! और परिणाम में कुल अंकों की संख्या देखें।

3

विस्तार जांचें

छोटे संख्याओं के लिए, पूर्ण गुणन विस्तार (जैसे, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120) देखें।

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What Is फैक्टोरियल कैलकुलेटर?

एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक n का факторियल, जिसे n! से दर्शाया जाता है, 1 से n तक सभी सकारात्मक पूर्णांकों का उत्पाद है। उदाहरण के लिए, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120। परंपरा के अनुसार, 0! = 1 (खाली उत्पाद) होता है। फैक्टोरियल बहुत तेजी से बढ़ते हैं - 20! पहले से ही 2.4 क्विंटिलियन से अधिक है, और 100! में 158 अंक हैं। फैक्टोरियल संयोजन विज्ञान (क्रमचय और संयोजन) में, संभाव्यता सिद्धांत, टेलर श्रृंखला विस्तार जैसे कार्यों में e^x और sin(x), और एल्गोरिथम विश्लेषण में आधारभूत हैं। यह कैलकुलेटर BigInt अंकगणित का उपयोग करके 1000! तक सटीक फैक्टोरियल गणना करता है, जिससे हज़ारों अंकों के परिणाम बिना किसी राउंडिंग या अनुमान के प्राप्त होते हैं। यह डिजिटल गणना और, छोटे मूल्यों के लिए, शैक्षिक संदर्भ के लिए पूर्ण गुणन विस्तार भी दिखाता है।

Why Use फैक्टोरियल कैलकुलेटर?

  • BigInt सटीकता का उपयोग करके 1000! तक सटीक फैक्टोरियल गणना करता है
  • परिणाम में कुल अंकों की संख्या दिखाता है
  • सीखने के लिए गुणन विस्तार प्रदर्शित करता है
  • कोई ओवरफ्लो समस्या नहीं - मानक संख्या सीमाओं से परे काम करता है
  • बहुत बड़े फैक्टोरियल के लिए भी तुरंत गणना

Common Use Cases

संयोजन

फैक्टोरियल अभिव्यक्तियों को शामिल करने वाले संयोजन और संयोजन गणना करें।

संभावना

व्यवस्थाओं, जैसे जन्मदिन समस्या या लॉटरी ऑड्स को शामिल करने वाले संभावनाएं गणना करें।

गणित शिक्षा

यह दिखाने के लिए कि फैक्टोरियल कितनी तेजी से बढ़ते हैं और घरेलू उत्तरों को सत्यापित करें।

एल्गोरिदम विश्लेषण

कंप्यूटर विज्ञान में O(n!) एल्गोरिदम के पैमाने को समझना।

Technical Guide

फैक्टोरियल फंक्शन को पुनरावृत्ति रूप से n! = n × (n−1)! के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां आधार मामला 0! = 1 होता है। यह कैलकुलेटर एक पाशविक दृष्टिकोण के साथ JavaScript BigInt का उपयोग करता है ताकि ढेर ओवरफ्लो से बचा जा सके और सटीक पूर्णांक सटीकता बनाए रखी जा सके। BigInt किसी भी बड़े पूर्णांक को अनुमति देता है, इसलिए 1000! (जिसमें 2,568 अंक हैं) को बिना फ्लोटिंग-पॉइंट राउंडिंग के सटीक रूप से गणना किया जाता है। यह गणना एक सरल पाश है: परिणाम = 1 से शुरू करें और 2 से n तक प्रत्येक पूर्णांक से गुणा करें। समय जटिलता O(n) गुणन है, लेकिन प्रत्येक गुणन में बढ़ती बड़ी संख्याएं शामिल होती हैं, इसलिए वास्तविक समय अधिक तेजी से बढ़ता है। स्टर्लिंग का अनुमान (n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n) फैक्टोरियल परिमाण को अनुमानित कर सकता है: n! में अंकों की संख्या लगभग n×log10(n/e) + 0.5×log10(2πn) है। यह कैलकुलेटर इनपुट को 1000 पर कैप करता है ताकि ब्राउज़र प्रदर्शन को बनाए रखा जा सके, हालांकि BigInt सैद्धांतिक रूप से बड़े मूल्यों को संभाल सकता है।

Tips & Best Practices

  • 1
    0! = 1 परिभाषा द्वारा (खाली उत्पाद सम्मेलन)
  • 2
    फैक्टोरियल बहुत तेजी से बढ़ते हैं - 20! पहले से ही 2 क्विंटिलियन से अधिक
  • 3
    n! में अंकों की संख्या लगभग n×log₁₀(n) − n×log₁₀(e) + 0.5×log₁₀(2πn)
  • 4
    फैक्टोरियल केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित हैं; गामा फंक्शन सभी संख्याओं को सामान्य करता है
  • 5
    संयोजन के लिए, आप अक्सर गुणन करने से पहले फैक्टोरियल रद्द कर सकते हैं ताकि संख्याएं प्रबंधनीय रहें

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Frequently Asked Questions

Q 0! 1 क्यों बराबर होता है?
गणितीय सम्मेलन द्वारा, खाली सेट के उत्पाद 1 (गुणात्मक पहचान) है। यह फैक्टोरियल शामिल करने वाले सूत्रों को सही ढंग से काम करने में मदद करता है, जैसे C(n,0) = n!/0!n! = 1।
Q इनपुट कितना बड़ा हो सकता है?
यह कैलकुलेटर 1000 तक इनपुट को सपोर्ट करता है। 1000! के परिणाम में 2,568 अंक होते हैं और BigInt गणित का उपयोग करके तुरंत गणना की जाती है।
Q क्या फैक्टोरियल नकारात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं?
नहीं, फैक्टोरियल फंक्शन केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित है। गामा फंक्शन Γ(n) = (n−1)! इस अवधारणा को गैर-पूर्णांक और नकारात्मक गैर-पूर्णांक तक बढ़ाता है।
Q फैक्टोरियल इतनी तेजी से क्यों बढ़ते हैं?
प्रत्येक चरण एक बढ़ती बड़ी संख्या से गुणा करता है। जबकि 10! = 3,628,800, बस 10 और देता है 20! = 2,432,902,008,176,640,000। यह अतिरिक्त-आयामी वृद्धि n! को अंततः किसी भी घातांक फंक्शन से बड़ा बनाती है।
Q फैक्टोरियल का उपयोग क्या है?
फैक्टोरियल n वस्तुओं (संयोजन) को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या गिनती करता है। यह संभावना, संयोजन, टेलर श्रृंखला और एल्गोरिदम विश्लेषण में दिखाई देता है।

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