Fakultätsrechner Berechnen Sie die Fakultät einer beliebigen Zahl (n!) mit Ziffernzahl und Erweiterung.

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Fakultätsrechner

Berechnen Sie die Fakultät einer beliebigen Zahl (n!) mit Ziffernzahl und Erweiterung.

Geben Sie eine Zahl ein

Geben Sie eine nicht-negative Ganzzahl (bis zu 1000) ein, um ihre Fakultät zu berechnen.

Ergebnis anzeigen

Sehen Sie n! in voller Länge angezeigt, zusammen mit der Gesamtzahl der Ziffern im Ergebnis.

Erweiterung überprüfen

Für kleinere Zahlen können Sie die komplette Multiplikationserweiterung anzeigen (z. B. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120).

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What Is Fakultätsrechner?

Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n, bezeichnet als n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel gilt 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Per Konvention gilt 0! = 1 (das leere Produkt). Fakultäten wachsen extrem schnell - 20! übersteigt bereits 2,4 Quintillionen und 100! hat 158 Ziffern. Fakultäten sind grundlegend in der Kombinatorik für das Zählen von Anordnungen (Permutationen) und Auswahlmöglichkeiten (Kombinationen), in der Wahrscheinlichkeitstheorie, in den Taylor-Reihenentwicklungen von Funktionen wie e^x und sin(x) sowie in der Algorithmusanalyse. Dieser Rechner verwendet die BigInt-Arithmetik, um exakte Fakultäten bis zu 1000! zu berechnen und Ergebnisse mit Tausenden von Ziffern ohne Rundung oder Approximation zu produzieren. Er zeigt auch die Anzahl der Ziffern an und für kleinere Werte die vollständige Multiplikationserweiterung als pädagogische Referenz.

Why Use Fakultätsrechner?

Berechnet exakte Fakultäten bis zu 1000! mit BigInt-Genauigkeit
Zeigt die Gesamtziffernzahl des Ergebnisses an
Zeigt die Multiplikationserweiterung für Lernzwecke an
Keine Überlaufprobleme - funktioniert über Standard-Zahlenlimits hinaus
Sofortige Berechnung auch für sehr große Fakultäten

Common Use Cases

Kombinatorik

Berechnen Sie Permutationen und Kombinationen, die Fakultätsausdrücke beinhalten.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Berechnen Sie Wahrscheinlichkeiten, die Anordnungen beinhalten, wie z. B. das Geburtstagsproblem oder Lotto-Chancen.

Mathematikunterricht

Demonstrieren Sie, wie schnell Fakultäten wachsen und überprüfen Sie Hausaufgabenlösungen.

Algorithmusanalyse

Verstehen Sie die Größenordnung von O(n!)-Algorithmen in der Informatik.

Technical Guide

Die Fakultätsfunktion ist rekursiv definiert als n! = n × (n−1)! mit dem Basisfall 0! = 1. Dieser Rechner verwendet einen iterativen Ansatz mit JavaScript-BigInt, um Stack-Überläufe zu vermeiden und die exakte ganzzahlige Genauigkeit beizubehalten. BigInt ermöglicht beliebig große ganze Zahlen, sodass 1000! (das 2.568 Ziffern hat) genau ohne Gleitkomma-Rundung berechnet wird. Die Berechnung ist eine einfache Schleife: Beginnen Sie mit result = 1 und multiplizieren Sie mit jeder ganzen Zahl von 2 bis n. Die Zeitkomplexität beträgt O(n)-Multiplikationen, aber jede Multiplikation beinhaltet zunehmend große Zahlen, sodass die tatsächliche Zeit in der Praxis schneller wächst. Stirlings Approximation (n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n) kann die Größenordnung der Fakultät schätzen: Die Anzahl der Ziffern in n! ist ungefähr n×log10(n/e) + 0,5×log10(2πn). Der Rechner begrenzt die Eingabe auf 1000, um eine vernünftige Browser-Leistung beizubehalten, obwohl BigInt theoretisch größere Werte verarbeiten könnte.

Tips & Best Practices

1
0! = 1 per Definition (die leere Produktkonvention)
2
Fakultäten wachsen unglaublich schnell - 20! ist bereits über 2 Quintillionen
3
Die Anzahl der Ziffern in n! beträgt ungefähr n×log₁₀(n) − n×log₁₀(e) + 0,5×log₁₀(2πn)
4
Fakultäten sind nur für nicht-negative Ganzzahlen definiert; die Gamma-Funktion verallgemeinert auf alle Zahlen
5
Bei Kombinationen können Sie oft Fakultäten vor dem Multiplizieren streichen, um die Zahlen handhabbar zu halten

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Frequently Asked Questions

Q Warum ist 0! gleich 1?

Per mathematischer Konvention ist das Produkt einer leeren Menge von Zahlen 1 (die multiplikative Identität). Dies macht Formeln, die Fakultäten beinhalten, wie z. B. C(n,0) = n!/0!n! = 1, korrekt.

Q Wie groß kann die Eingabe sein?

Dieser Rechner unterstützt Eingaben bis zu 1000. Das Ergebnis von 1000! hat 2.568 Ziffern und wird sofort mit BigInt-Arithmetik berechnet.

Q Sind Fakultäten für negative Zahlen definiert?

Nein, die Fakultätsfunktion ist nur für nicht-negative Ganzzahlen definiert. Die Gamma-Funktion Γ(n) = (n−1)! verallgemeinert das Konzept auf Nicht-Ganzzahlen und negative Nicht-Ganzzahlen.

Q Warum wachsen Fakultäten so schnell?

Jeder Schritt multipliziert mit einer zunehmend großen Zahl. Während 10! = 3.628.800 ist, ergibt sich bei nur 10 weiteren 20! = 2.432.902.008.176.640.000. Dieses super-exponentielle Wachstum macht n! größer als jede exponentielle Funktion letztendlich.

Q Wofür werden Fakultäten verwendet?

Fakultäten zählen die Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte anzuordnen (Permutationen). Sie kommen in Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik, Taylor-Reihen und Algorithmusanalyse vor.

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